<p>Mark Saengrungkongka是麻省理工學(xué)院一年級(jí)的學(xué)生，他站在黑板前解釋了他對(duì)一道數(shù)學(xué)題的解法，這道數(shù)學(xué)題可能會(huì)出現(xiàn)在威廉&middot;洛厄爾&middot;帕特南數(shù)學(xué)競(jìng)賽上。威廉&middot;洛厄爾&middot;帕特南數(shù)學(xué)競(jìng)賽是由美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)(MAA)管理的一項(xiàng)針對(duì)美國(guó)和加拿大大學(xué)生的著名年度數(shù)學(xué)競(jìng)賽。在他完成證明后，全班報(bào)以熱烈的掌聲。&ldquo;這是一個(gè)非常好的解決方案，&rdquo;數(shù)學(xué)教授趙宇飛告訴學(xué)生們。</p> <p>&nbsp;</p> <p>開(kāi)學(xué)幾周后，雖然有幾個(gè)人遲到了，但18班的學(xué)生。A34(數(shù)學(xué)解題組)非常注意同學(xué)們?cè)诤诎迳险故镜膹?fù)雜的證明。聽(tīng)眾們提出了一些探索性的問(wèn)題，并指出了辯論中的不足之處。</p> <p>&nbsp;</p> <p>這個(gè)本科生研討會(huì)，更廣為人知的是普特南研討會(huì)，匯集了對(duì)年度比賽感興趣的一年級(jí)學(xué)生。近年來(lái)，麻省理工學(xué)院在12月的考試中獲得了第一名，所有五名得分最高的學(xué)生，即普特南研究員，都是過(guò)去兩年來(lái)自麻省理工學(xué)院的。</p> <p>&nbsp;</p> <p>但帕特南考試的目的也是為了向所有嘗試做這些難到發(fā)狂的問(wèn)題集的人灌輸對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)。趙老師這門課的目標(biāo)之一就是讓解決這些問(wèn)題更像是參與一個(gè)有趣的小組益智游戲，而不是一場(chǎng)壓力很大的比賽。對(duì)于許多一年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，這也是一個(gè)很好的方式來(lái)適應(yīng)麻省理工學(xué)院的生活。</p> <p>&nbsp;</p> <p>&ldquo;參加研討班的學(xué)生通常都為參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽做了充分的準(zhǔn)備。&rdquo;趙說(shuō)。&ldquo;但大學(xué)與高中的奧數(shù)競(jìng)賽有很大不同。研討會(huì)的一個(gè)目標(biāo)是幫助他們從高中數(shù)學(xué)奧林匹克選手轉(zhuǎn)變?yōu)槌晒Φ拇髮W(xué)生，甚至更出色。&rdquo;</p> <p>&nbsp;</p> <p>每周，他都會(huì)以一場(chǎng)隨意的討論，溫和地開(kāi)始他的研討會(huì)。他詢問(wèn)學(xué)生們對(duì)本學(xué)期的感受，并談?wù)撟鳛橐幻麛?shù)學(xué)系學(xué)生的生活。討論內(nèi)容包括選課、處理挫折和職業(yè)道路。一名學(xué)生詢問(wèn)如何尋找研究機(jī)會(huì);另一個(gè)學(xué)生問(wèn)推薦信的事。</p> <p>&nbsp;</p> <p>趙老師知道，他的學(xué)生們已經(jīng)在提前考慮高等數(shù)學(xué)課程，但他希望讓他們慢一點(diǎn)，這樣他們就能花時(shí)間真正理解和欣賞他們所學(xué)的東西。&ldquo;這些學(xué)生有一種做得太多的傾向。&rdquo;他說(shuō)。</p> <p>&nbsp;</p> <p>上課大約10分鐘后，趙老師結(jié)束了討論，開(kāi)始了學(xué)生的陳述。</p> <p>&nbsp;</p> <p>Mohit Hulse展示了2018年P(guān)utnam競(jìng)賽中組合數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決方案。當(dāng)他意識(shí)到自己在演講中犯了一個(gè)小錯(cuò)誤時(shí)，臺(tái)下響起了一陣支持他的笑聲，他自信地繼續(xù)講下去。聽(tīng)眾們都很尊重他，他的同學(xué)們也經(jīng)常幫他出主意。</p> <p>&nbsp;</p> <p>當(dāng)他講完后，趙又補(bǔ)充了一些贊美和建議。他說(shuō):&ldquo;我建議你去查一下切爾諾夫界限的證明，它非常相似。&rdquo;&ldquo;這是一個(gè)很好的解決方案。&rdquo;然后他指著黑板給出了一些建議。&ldquo;我以為這一步可以省略。&rdquo;</p> <p>&nbsp;</p> <p>除了討論和學(xué)生演講外，研討會(huì)每周還由高年級(jí)學(xué)生進(jìn)行講座，其中包括帕特南研討會(huì)的資深人士。這些講座突出了對(duì)普特南競(jìng)賽有用的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決技巧，并提供了一個(gè)進(jìn)入高等數(shù)學(xué)的鏡頭。</p> <p>&nbsp;</p> <p>今年，大約有60名即將入學(xué)的一年級(jí)學(xué)生申請(qǐng)參加帕特南研討會(huì)，其中21人被選中。研討會(huì)具有國(guó)際多樣性，學(xué)生來(lái)自美國(guó)以外的10個(gè)國(guó)家:澳大利亞、亞美尼亞、加拿大、中國(guó)、格魯吉亞、印度、韓國(guó)、葡萄牙、新加坡和泰國(guó)。</p> <p>&nbsp;</p> <p>趙說(shuō):&ldquo;這門課可以建立聯(lián)系。他們都是麻省理工學(xué)院的新生，很多人是第一次來(lái)美國(guó)。他們都對(duì)數(shù)學(xué)感興趣。我希望研討會(huì)能幫助他們認(rèn)識(shí)其他同學(xué)，形成一個(gè)相互支持的社區(qū)。&rdquo;</p> <p>&nbsp;</p> <p>歡迎任何麻省理工學(xué)院的學(xué)生參加講座，盡管演講環(huán)節(jié)僅限于參加研討會(huì)的學(xué)生。這些習(xí)題集也可以通過(guò)麻省理工學(xué)院的開(kāi)放課程提供給其他感興趣的學(xué)生和老師。</p> <p>&nbsp;</p> <p><span class="h1"><strong>練習(xí)演講</strong></span></p> <p>&nbsp;</p> <p>該研討會(huì)旨在為大一新生提供一個(gè)難得的機(jī)會(huì)來(lái)發(fā)展他們的數(shù)學(xué)交流技能，包括黑板展示和證明寫作。趙說(shuō)，近年來(lái)，他一直在創(chuàng)新研討會(huì)的形式，越來(lái)越強(qiáng)調(diào)口頭陳述練習(xí)和反饋。</p> <p>&nbsp;</p> <p>他說(shuō):&ldquo;大學(xué)生沒(méi)有太多的演講機(jī)會(huì)，尤其是黑板演講。&ldquo;我們從麻省理工學(xué)院的校友那里聽(tīng)到很多話，他們希望自己在麻省理工學(xué)院接受了更多溝通技巧方面的培訓(xùn)。&rdquo;</p> <p>&nbsp;</p> <p>兩個(gè)以前的研討會(huì)學(xué)生，大四的Dain Kim和大二的Tomasz ?lusarczyk，幫助班級(jí)作為本科生助理。金妍兒在去年的比賽中排名第6位，獲得了&ldquo;伊麗莎白&middot;洛厄爾&middot;普特南獎(jiǎng)&rdquo;(Elizabeth Lowell Putnam Prize)， ?lusarczyk也獲得了榮譽(yù)獎(jiǎng)。作為本科生助理，Kim和?lusarczyk會(huì)定期安排辦公時(shí)間，讓學(xué)生們?cè)诮淌诓辉趫?chǎng)的情況下，向一小群其他學(xué)生練習(xí)演講。這些辦公時(shí)間從去年開(kāi)始，是為了響應(yīng)學(xué)生在課堂之外尋求更多演講機(jī)會(huì)的需求。</p> <p>&nbsp;</p> <p>金某說(shuō)，在大一的時(shí)候，參加了研習(xí)班，受益匪淺。</p> <p>&nbsp;</p> <p>金說(shuō):&ldquo;尤其是在麻省理工學(xué)院的數(shù)學(xué)課上，你很難有機(jī)會(huì)向其他學(xué)生做報(bào)告，除非是CI-M(專業(yè)交流密集型課程)，因?yàn)榇蠖鄶?shù)課程都是以講課為基礎(chǔ)的。&rdquo;&ldquo;我可以聽(tīng)到其他學(xué)生如何解決我無(wú)法解決的問(wèn)題，我還可以練習(xí)數(shù)學(xué)演示。&rdquo;</p> <p>&nbsp;</p> <p>?lusarczyk去年參加了這個(gè)研討會(huì)，他認(rèn)為這門課讓他的一些數(shù)學(xué)競(jìng)賽方法和思維模式轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯啃蛿?shù)學(xué)。他說(shuō):&ldquo;將解決問(wèn)題的專注力與更高水平的數(shù)學(xué)成熟度結(jié)合起來(lái)，絕對(duì)是一次很棒的教育經(jīng)歷，極大地提高了我的普特南技能。&rdquo;&ldquo;在研討會(huì)上培養(yǎng)的技能在問(wèn)題設(shè)置會(huì)議、辦公時(shí)間或研究會(huì)議上是無(wú)價(jià)的。這門課對(duì)我的職業(yè)規(guī)劃幫助很大&mdash;&mdash;我學(xué)到了很多關(guān)于研究型數(shù)學(xué)的知識(shí)，并決定畢業(yè)后要在數(shù)學(xué)博士項(xiàng)目中進(jìn)行研究。&rdquo;</p> <p>&nbsp;</p> <p><span class="h1"><strong>競(jìng)爭(zhēng)的加劇</strong></span></p> <p>&nbsp;</p> <p>帕特南考試由伊麗莎白&middot;洛厄爾&middot;帕特南于1927年創(chuàng)立，以紀(jì)念她的丈夫威廉&middot;洛厄爾&middot;帕特南，自1938年起每年舉辦一次，由美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)管理。</p> <p>&nbsp;</p> <p>去年的考試長(zhǎng)達(dá)6個(gè)小時(shí)，涉及12道數(shù)學(xué)證明題，每道題10分，題目來(lái)自微積分、代數(shù)、幾何、組合、數(shù)論等學(xué)科。來(lái)自427所大學(xué)的2975名本科生參加了2021年的考試，其中150名來(lái)自麻省理工學(xué)院。</p> <p>&nbsp;</p> <p>最高分是119分(滿分120分)，中位數(shù)只有4分&mdash;&mdash;這意味著大多數(shù)學(xué)生沒(méi)有完全解決任何一道題。但在獲得榮譽(yù)獎(jiǎng)或更高排名的前105名學(xué)生中，有63名是麻省理工學(xué)院的學(xué)生。</p> <p>&nbsp;</p> <p>前五名將獲得著名的普特南研究員稱號(hào)。這是比賽歷史上第二次，所有五位普特南研究員都來(lái)自麻省理工學(xué)院，而且他們都是普特南研討會(huì)的校友。在帕特南競(jìng)賽的80多年中，只有8名參賽者獲得了罕見(jiàn)的4次帕特南獎(jiǎng)學(xué)金，其中3名來(lái)自麻省理工學(xué)院。麻省理工學(xué)院數(shù)學(xué)教授(前麻省理工學(xué)院普特南教練)比約恩&middot;普南(Bjorn Poonen)在哈佛大學(xué)讀本科時(shí)就曾四次獲得普特南獎(jiǎng)學(xué)金。</p> <p>&nbsp;</p> <p>早在1973年，麻省理工學(xué)院數(shù)學(xué)教授理查德&middot;斯坦利開(kāi)始在麻省理工學(xué)院任教時(shí)，他注意到麻省理工學(xué)院有大量學(xué)生參加帕特南考試。在加州理工學(xué)院讀書期間，他參加過(guò)三次考試。</p> <p>&nbsp;</p> <p>&ldquo;我最好的成績(jī)是總成績(jī)第九。&rdquo;他回憶道。&ldquo;當(dāng)時(shí)，加州理工學(xué)院是普特南的主要學(xué)校。我還記得大一時(shí)，我的學(xué)生宿舍里有個(gè)人抱怨說(shuō)，雖然他在全國(guó)排名第七，但他在加州理工學(xué)院只排名第四，在他的走廊上排名第二!&rdquo;</p> <p>&nbsp;</p> <p>當(dāng)他看到麻省理工學(xué)院的學(xué)生在考試中的表現(xiàn)時(shí)，他認(rèn)為還有改進(jìn)的空間。</p> <p>&nbsp;</p> <p>他回憶道:&ldquo;我想，一個(gè)關(guān)于解決問(wèn)題的研討會(huì)可能會(huì)激發(fā)一些興趣，讓學(xué)生們受益。&rdquo;</p> <p>&nbsp;</p> <p>斯坦利的本科生數(shù)學(xué)問(wèn)題解決研討會(huì)的特點(diǎn)是他每周的講座都致力于與普特南相關(guān)的主題，如數(shù)論、線性代數(shù)、生成函數(shù)或不等式。斯坦利說(shuō):&ldquo;這些都是宏大的主題，但這些講座非常狹隘地集中在提供如何做好帕特南的背景和例子上。&rdquo;</p> <p>&nbsp;</p> <p>然后，他每周會(huì)布置兩套習(xí)題，一套是基于講座內(nèi)容，另一套是&ldquo;有趣&rdquo;的問(wèn)題。那周的第二節(jié)課讓學(xué)生們討論他們的解決方案。</p> <p>&nbsp;</p> <p>他說(shuō):&ldquo;這門課的第二個(gè)重點(diǎn)就是享受問(wèn)題帶來(lái)的樂(lè)趣。&rdquo;&ldquo;許多學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生喜歡解決問(wèn)題，也喜歡有機(jī)會(huì)從數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域?qū)W習(xí)到一些在普通課堂上不太可能學(xué)到的有趣知識(shí)。他們也喜歡友好競(jìng)爭(zhēng)的友情。&rdquo;</p> <p>&nbsp;</p> <p>斯坦利也在帕特南執(zhí)教了大約35年，后來(lái)哈特利&middot;羅杰斯教授也加入了他的行列。普特南的課程似乎把麻省理工學(xué)院的學(xué)生拉進(jìn)了許多第一名的團(tuán)隊(duì)勝利。那次研討會(huì)的八名校友最終成為了斯坦利的博士生，他還根據(jù)那次研討會(huì)的內(nèi)容寫了一本書《對(duì)話式解決問(wèn)題》(Conversational Problem Solving)。</p> <p>&nbsp;</p> <p>最重要的是，Stanley強(qiáng)調(diào)在Putnam中加入樂(lè)趣。此外，他說(shuō)，所有的勝利都有不利的一面。</p> <p>&nbsp;</p> <p>斯坦利說(shuō):&ldquo;這就好像紅襪隊(duì)每年都統(tǒng)治著所有其他球隊(duì)，在四場(chǎng)比賽中贏得了所有世界大賽的冠軍。&rdquo;&ldquo;對(duì)波士頓球迷來(lái)說(shuō)很好，但對(duì)棒球隊(duì)來(lái)說(shuō)不是。&rdquo;</p> <p>&nbsp;</p> <p>2006年，作為一年級(jí)學(xué)生，趙參加了斯坦利和羅杰斯教授的普特南研討會(huì)，并獲得了三個(gè)普特南學(xué)者名額;他以一分之差錯(cuò)過(guò)了第四場(chǎng)比賽。當(dāng)他于2017年回到麻省理工學(xué)院任教時(shí)，他開(kāi)始教授普特南研討會(huì)。</p> <p>&nbsp;</p> <p>趙稱贊史丹利創(chuàng)造了高質(zhì)量的習(xí)題集，這些習(xí)題集至今仍在研討會(huì)上使用。趙也在繼續(xù)斯坦利的目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生不要把研討會(huì)看作是對(duì)普特南的簡(jiǎn)單培訓(xùn)。</p> <p>&nbsp;</p> <p>金說(shuō):&ldquo;這門課幫助我參加了普特南考試。&ldquo;每周我都會(huì)解決一套習(xí)題集，我喜歡嘗試一些難題。它幫助我習(xí)慣了putname類型的問(wèn)題。但這不僅僅是一門&ldquo;帕特南準(zhǔn)備課&rdquo;。&rsquo;雖然我們討論的是普特南問(wèn)題(Putnam problem)，其中也出現(xiàn)了一些概念，但這門課的目標(biāo)并不是&lsquo;提高參與者的分?jǐn)?shù)&rsquo;。&rdquo;</p> <p>&nbsp;</p> <p>在11月下旬的一次研討會(huì)上，趙先生問(wèn)他的學(xué)生們對(duì)即將到來(lái)的不到兩周的考試有什么感受，一些人提到了&ldquo;壓力&rdquo;這個(gè)詞。但另一些人則表示，他們非常喜歡解決這些問(wèn)題。一名學(xué)生表示:&ldquo;我想在沒(méi)有太大壓力的情況下參加考試。&rdquo;另一位補(bǔ)充道:&ldquo;對(duì)我來(lái)說(shuō)，有效的是我與自己競(jìng)爭(zhēng)，而不是與他人競(jìng)爭(zhēng)。&rdquo;</p> <p>&nbsp;</p> <p>然后，趙老師給了全班同學(xué)他最有價(jià)值的建議:&ldquo;在考試前的幾天，一定要保證充足的睡眠。&rdquo;</p> <p>&nbsp;</p> <blockquote> <p>注：本文由院校官方新聞直譯，僅供參考，不代表指南者留學(xué)態(tài)度觀點(diǎn)。</p> </blockquote>